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La
metrología es la ciencia de las medidas, consideradas conjuntamente
con la determinación de sus incertidumbres y constituye con la
normalización, la acreditación y la certificación,
los cimientos de todo plan de aseguramiento de la calidad de una medida.
Publicaciones
y cursos, con la metrología como telón de fondo dedican
capítulos a establecer lo que denominan principios generales de
estadística, con la consigna de que ?sirve para tomar decisiones
respecto a una característica que se desea evaluar: una variable
aleatoria?. Y aparecen conceptos encadenados: población, muestra,
valor esperado, varianza, función de densidad, de distribución,
técnicas de muestreo, estimación de parámetros, intervalos
de confianza, análisis multivariante, métodos bayesianos,
inferencia estadística robusta, .... Y surgen técnicas con
medias o varianzas (poblacionales o muestrales) que se comparan con estadísticos
clásicamente utilizados (Gauss, Student, Snedecor, Pearson, Fisher,
...).
En
los últimos años ha surgido con auge una iniciativa comunitaria
de aseguramiento de la calidad de la medida. Los profesionales de las
medidas en empresas, laboratorios de ensayos o calibración, necesitan
implantar sistemas de calidad y tomar decisiones sobre temas metrológicos.
Y una parte del conocimiento, necesaria para afrontar los temas metrológicos,
es la denominada inferencia estadística. Este artículo es
la primera parte de un trabajo que trata de dar una panorámica
general sobre las técnicas de inferencia estadística y su
aplicación en el Area de Conocimiento de Ingeniería Cartográfica,
Geodesia y Fotogrametría, analizando el pasado, presente y futuro,
con el objetivo de clarificar aspectos concretos de gran trascendencia
en este ámbito.
1.-
INTRODUCCION
En
la actualidad, la inferencia estadística clásica, desarrollada
en el primer tercio del siglo XX, da respuesta suficiente para tratar
de forma adecuada la problemática suscitada. Tomar el valor de
una medida (población), pasa por realizar unas concretas determinaciones
(muestra) y a partir de sus resultados, dar el resultado final de la medida
y su incertidumbre. La incertidumbre es un parámetro asociado al
resultado de una medición que caracteriza la dispersión
de los valores que pueden atribuirse a la medición. De esta forma,
la muestra y las técnicas de muestreo se convierten en el fundamento
de la inferencia estadística clásica.
En
Ingeniería Cartográfica, Geodesia y Fotogrametría
la medida es permanente protagonista. Distancias, alturas, ángulos
acimutales y cenitales, determinaciones gravimétricas, comparten
el cotidiano trabajo de los profesionales de la topografía, geodesia,
... Por esta razón, estos profesionales necesitan aplicar las
técnicas de inferencia y conocer las líneas de investigación
asociadas a esta disciplina que por contenidos e importancia se ha desgajado
de las ciencias matemáticas tradicionales y ha formado un cuerpo
doctrinal con entidad propia.
Los
primeros estudios sobre probabilidad estaban intrínsecamente unidos
con los juegos de azar, buscando la máxima rentabilidad monetaria
o la mayor utilidad. Este objetivo conocido como principio de la ?esperanza
matemática? es vigente hasta que apareció la obra de Daniel
Bernouilli, hacia 1.730. Posteriormente, el empleo del método de
los mínimos cuadrados es desde su introducción por Gauss
y Legendre, la técnica de estimación más utilizada
en el ámbito de la medida. En la actualidad, diversos autores tratan
de reflejar bajo el concepto de utilidad diferentes aspectos probabilísticos,
llegando hasta nuevas formas de enfocar la resolución de la problemática
bajo las teorías de la robustez.
2.-
ESTADISTICA CLASICA
La
estadística tiene muchos significados, siendo una técnica
que debe establecer una guía para determinar situaciones de incertidumbre.
La información y la incertidumbre participan de forma decisiva.
Es, por lo tanto, la estadística una ligazón entre pasado
y futuro, de especial trascendencia en la mayor parte de los procesos.
Todo
procedimiento estadístico que emplea información para obtener
conocimiento, está en el ámbito de la inferencia y cuando
hay que determinar acciones, se aborda la denominada decisión estadística.
Figura 1.- Marco de la estadística clásica |
Los
primeros nombres ligados a esta etapa significativa son los Bernouilli.
Originarios de los Países Bajos, huyeron a Suiza por la persecución
que en el reinado de Felipe II hicieron los españoles a los no
católicos. Entre esta familia de grandes matemáticos se
pueden destacar las figuras relevantes incluidas en el bloque complementario
de información n?1.
3.-
LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD
En
el primer tercio del siglo XX irrumpen con fuerza en el ámbito
científico-matemático dos corrientes que tratan de configurar
un marco propio: la teoría de la probabilidad. Crear una axiomática
propia y establecer las bases para difundir una nueva estadística,
ocupó un amplio período de tiempo donde científicos
de gran renombre fueron plasmando sus teorías.
Figura N 2.- Flujo significativo |
Es
necesario destacar los tres grandes bloques de tratamiento en esta etapa
tan interesante que trata de dar contenidos a una nueva forma en el ámbito
del conocimiento matemático.
Preparación
de una base topológica y de las estructuras asociadas necesarias
para establecer una nueva axiomática (Cantor, Hilbert, Borel,
...).
Inicio
y consolidación de la axiomática de la teoría
de la probabilidad (Lebesgue, Kolmogorov, Feller, ...).
Desarrollo
de la inferencia estadística clásica y su aplicación
a Ingeniería, Industria (Markov, Pearson, Gosset, Snedecor,
Von Mises, Fisher, ...).
Los
tres bloques fueron desarrollándose a la vez, consiguiendo en tan
solo cincuenta años desgajar unos contenidos que han formado una
estructura propia en el ámbito de las ciencias matemáticas.
Los principales rasgos personales de los protagonistas de estas tres etapas
significativas, en orden cronológico, se incluyen en el bloque
complementario de información nº2.
4.-
INFERENCIA ESTADISTICA MODERNA
A
partir de mediados del siglo XX, tras la implantación de la denominada
inferencia clásica, surgen investigadores que intentan reforzar
nuevas formas, tratando de implementar aplicaciones dirigidas hacia las
ciencias sociales y ámbito económico. La moderna inferencia
tiene dos pilares fundamentales: la teoría de la decisión
y los métodos bayesianos.
A
mediados de 1.800 ya se distinguen aspectos como utilidad marginal y utilidad
total, renovándose el primitivo concepto de Bernouilli. Con posterioridad
Von Neumann y Oscar Morgenstern, hacia 1.945, desarrollan la moderna teoría
probabilística de la utilidad, definiendo una axiomática
común para la probabilidad y para la utilidad.
En
1.954 aparece la obra de Savage, iniciador de la línea bayesiana,
en el marco de la teoría de la utilidad. En los últimos
años el empleo de la teoría ha sido predictivo, aplicado
en muchas ocasiones a las ciencias sociales y económicas, destacando
la utilidad colectiva de Arrow (problema de bienestar social) y hace poco
tiempo Black y Rethenberg. Recientemente trabajos de McCrimmon (1.968)
han contrastado la axiomática de Savage, empleando experimentación
adecuada, obteniendo interesantes resultados.
Fundamentalmente
la inferencia estadística moderna sigue dos sentidos que, aunque
convergentes, tienen enfoque diferenciado:
Teoría
bayesiana. Admite conocimientos a priori, así como observaciones
nuevas. Las a priori son modificadas por las verosimilitudes.
Teoría
de la decisión. Punto de partida en los trabajos de Wald
(1.950). Pretende establecer una teoría, unas reglas de acción
en situación de incertidumbre o riesgo. El valor de cualquier
decisión es medido por su pérdida.
Figura
3.- Inferencia estadística moderna
|
En
el bloque complementario de información n?3 se incluyen rasgos
biográficos de los autores.
5.-
INFERENCIA ESTADISTICA ROBUSTA
La
inferencia estadística clásica establece mecanismos de actuación
ampliamente desarrollados como la estimación genérica y
los contrastes de hipótesis. Ambos constituyen una parte esencial
del trabajo habitual en la estadística actual. En ellos impera
el dogma de la normalidad, quedando invalidadas las observaciones discordantes
con esta norma.
Etapas
de transición han intentado establecer mecanismos fundados en incluir
los datos anómalos y diseñar funciones de distribución
mixtas que modelicen ambos comportamientos.
Los
métodos robustos son complementarios de los métodos estadísticos
clásicos y configuran una teoría más afinada en aspectos
tan interesantes como la parte de estimación y de contraste.
Figura 4.- Ambito de la inferencia estadística
robusta |
El
término robusto fue establecido por Box (1.953), tratando de forzar
hacia una modelización más completa que la establecida.
Trabajos posteriores fueron reforzando la teoría, destacando:
Quenouille
(1.956), con técnicas que permiten reducir el sesgo y establecer
nuevos entornos para la estimación.
Anscombel
(1.960), estimulando la investigación teórica y experimental
en datos extremos.
Huber
(1.964), diseñando los procedimientos estadísticos
robustos.
Hampel
(1.968), introduciendo el uso de curvas de influencia para analizar
la sensibilidad de los estimadores.
Jaeckel
(1.971) y Berger (1.976), sobre aspectos de admisibilidad de los
estimadores.
En
la actualidad, y una vez establecidos los elementos teóricos necesarios,
es preciso aplicar el potencial de la nueva herramienta a las múltiples
utilidades que el Area de Ingeniería Cartográfica, Geodesia
y Fotogrametría tiene establecidas.
REFERENCIAS
BASICAS
YAÑEZ
DE DIEGO, I.: Teoría de muestras. UNED. Madrid, 1.991.
INFANTE
MACIAS, R.: Teoría de la decisión. UNED. Madrid,
1.992.
CASTILLO
RON, E.: Introducción a la estadística aplicada.
Ed. el autor. Santander, 1.993.
FELLER,
W.: Introducción a la Teoría de probabilidades y sus
aplicaciones. Volumen 1. Editorial Limusa. México, 1.996.
GARCIA
PEREZ, A.: Inferencia estadística robusta. UNED. Primer
Curso sobre métodos de la teoría de la probabilidad y
la inferencia estadística. Avila, Otoño 1.997.
GOMEZ
VILLEGAS, M.A.: ?R.A. Fisher: el inicio del análisis multivariante?.
100cias@uned. N?3. 2.000. Pág.:
51-55.
Diversas
consultas en Internet y en Enciclopedias.
BLOQUES
COMPLEMENTARIOS DE INFORMACION
Bloque
Nº1: ESTADISTICA CLASICA
1.1.-
BERNOUILLI, Jacob [1.654-1.705]
Matemático
suizo, estudió el cálculo de probabilidades. Creador
de un método de resolución de un tipo de ecuación
diferencial que lleva su nombre. Utilizó, por vez primera,
el concepto de integral y fue uno de los primeros matemáticos
en utilizar las coordenadas polares. Fue el creador de la curva lemniscata
que lleva su nombre.
1.2.-
BERNOUILLI, Daniel [1.700-1.782]
Médico
y matemático suizo, hijo de Johann (hermano del anterior, amigo
de Leibniz y maestro de Euler). Profesor en la Universidad de San
Petersburgo destacó en el cálculo de probabilidades
(estadística de la salud) y en hidrodinámica. Estableció
una relación fundamental conocida como principio de Bernouilli.
Entre 1.725 y 1.749 ganó premios por trabajos de diferente
contenido: astronomía, gravedad, mareas, magnetismo, etc.
1.3.-
BAYES, Thomas [1.702-1.761]
Teólogo
y matemático británico. Hijo de uno de los primeros
ministros presbiterianos ordenados en Inglaterra. También fue
ministro y asistió a su padre. Fue el primero en utilizar la
probabilidad inductivamente, estableciendo un fundamento matemático
para la inferencia probabilística. En un ensayo póstumo
quedó patente el intento de establecer las probabilidades tras
el conocimiento de causas. Laplace, a los once años de su muerte,
dio a conocer definitivamente sus revolucionarias teorías.
1.4.-
LAPLACE, Pierre Simon, Marqués de [1.749-1.827]
Astrónomo
y matemático, colaboró durante la Revolución
Francesa a establecer un sistema métrico, enseñó
cálculo y fue miembro del Instituto Francés. Con Napoleón
fue miembro del Senado. Aunque su gran trabajo fue en mecánica
celeste, estudia el análisis matemático, trabajando
en la teoría de la probabilidad, destacando en el cálculo
de probabilidades, en física (capilaridad y magnetismo) y astronomía
(invariabilidad de las órbitas planetarias).
1.5.-
GAUSS, Karl Friedrich [1.777-1.855]
Matemático
alemán de trascendental importancia que dominó la comunidad
matemática durante y después de su vida. Profesor de
la universidad de Gotinga (Göttinger), dirigió su observatorio.
Destacó en los múltiples campos de la matemática:
cálculo de probabilidades, creador de la distribución
normal y de los mínimos cuadrados. Geometría no euclídea.
Orbitas planetarias. Escribió un tratado de Mecánica
Celeste. Colaboró en el área de la física (con
Wilhelm Weber). En 1.833 construyó el primer telégrafo.
Estudió la inducción (gausio) e inventó el magnetómetro.
Bloque
Nº2: AXIOMATICA DE LA PROBABILIDAD E
INFERENCIA
ESTADISTICA CLASICA
2.1.-
CANTOR, George [1.845-1.918]
Matemático
y filósofo ruso-alemán fundador de la teoría
de conjuntos y descubridor de los números transfinitos. Enunció
multitud de teoremas, haciendo contribuciones significativas en la
teoría de la dimensión. Matemáticos de gran renombre
como Hilbert, Russell y Zermelo continuaron su labor.
2.2.-
MARCOV, Andres Andreyevich [1.856-1.922]
Matemático
ruso. Autor de varios trabajos sobre cálculo de diferencias
finitas y cálculo de probabilidades. En los Mathematische Annalen
ha publicado interesantes estudios sobre la serie hipergeométrica.
Destacan sus estudios sobre las cadenas, que llevan su nombre, en
el ámbito de los procesos estocásticos y su método
para ajustar modelos lineales.
2.3.-
PEARSON, Karl [1.856-1.936]
Nació
en Londres y estudió Derecho, aunque él siempre había
destacado en matemáticas. A los 27 años comienza a impartir
clases de matemáticas en la Universidad de Londres. Se interesó
por la aplicación de las matemáticas al estudio de la
evolución de las especies y la herencia. A Pearson se le deben
aportaciones tan importantes en el campo de la estadística
como el coeficiente de correlación lineal, la distribución
chi-cuadrado o el test de Pearson cuya finalidad es estudiar la bondad
del ajuste de una distribución empírica a partir de
una teórica.
2.4.-
HILBERT, David [1.862-1.943]
Matemático
alemán que destacó fundamentalmente en el campo de la
geometría. Hilbert propuso un conjunto de axiomas y llegaron
a ofrecerle el puesto de matemático más importante de
la Universidad de Berlín pero prefirió continuar como
profesor en Gotinga. Contribuyó en varias ramas como el análisis
funcional, el cálculo de variaciones, teoría algebraica
de los números, etc.
2.5.-
BOREL, Emile [1.871-1.956]
Matemático
y político francés especializado en teoría de
conjuntos numéricos. Escribió un tratado del cálculo
de la probabilidad. Son importantes sus trabajos en la teoría
de conjuntos y teoría de la medida.
2.6.-
LEBESGUE, Henri Leon [1.875-1.941]
Profesor
de la Universidad de París. Creó una integral más
general que la de Rieman, que tiene muchas aplicaciones en la teoría
de la probabilidad.
2.7.-
GOSSET, William Sealey (Student) [1.876-1.937]
Estadístico
británico. Empleado por la firma cervecera Guinnes en Dublín,
en 1.906 fue enviado por la empresa a trabajar con K. Pearson en el
University College de Londres, donde llevó a cabo sus principales
contribuciones a la estadística, publicadas bajo el pseudónimo
de Student. Estudió el problema de la estimación para
muestras pequeñas, analizando la distribución del estadístico
luego llamado t de Student.
2.8.-
SNEDECOR, George W. [1.881-1.974]
Estadístico
norteamericano, aplicó procedimientos de inferencia en el marco
de las especialidades biológicas y agrícolas. Creó
la distribución F con m y n grados de libertad (F, en honor
a Fisher) como cociente de distribuciones chi-cuadrado, escribiendo
88 publicaciones entre 1.925 y 1.967.
2.9.-
VON MISES, Richard [1.883-1.953]
Matemático
e ingeniero alemán. Profesor de las universidades de Estrasburgo,
Berlín y Estambul. Fue director del Instituto de Matemática
Aplicada de la Universidad de Berlín. Se trasladó a
EEUU. Editor de la revista de Matemática y Mecánica
Aplicada. Escribió ?Cálculo de Probabilidades?.
2.10.-
FISHER, Ronald Aymer [1.890-1.962]
Matemático
inglés educado en Cambridge creador del análisis multivariante.
Su tema central es la inferencia aplicada a la genética y a
la agricultura, estimulado por sus estudios de experimentación
agrícola en la Estación Experimental de Rothamsted hacia
1.919, desarrollando el análisis de la varianza y los principios
del diseño de experimentos. Creó la función que
lleva su nombre y prestó más atención a los procedimientos
de estimación.
2.11.-
KOLMOGOROV, Andrei Nikolaevich [1.903-1.987]
Matemático
soviético. Se doctoró en Matemáticas en la Universidad
de Moscú, en la que desarrolló toda su actividad docente
e investigadora. Tras realizar unos primeros trabajos sobre teoría
de funciones reales, estudió algunos temas de teoría
de la medida y efectuó investigaciones sobre lógica
intuicionista. Su nombre se halla asociado a la teoría de probabilidades,
campo al que proporcionó unas bases axiomáticas (axiomática
Kolmogorov) que constituyen el fundamento de la teoría de las
probabilidades a partir de la teoría de conjuntos.
2.12.-
FELLER, William [1.906-1.970]
Matemático
estadounidense de origen yugoslavo. Enseñó en la Universidad
de Kiev, desde donde pasó a Estocolmo en 1.933. Instalado en
EEUU desde 1.939, fue profesor de las Universidades de Cornell y Princeton.
Contribuyó decisivamente a la formulación del cálculo
de probabilidades como teoría matemática rigurosa y
se ocupó en particular de los llamados teoremas del límite
y de los procesos de Markov.
Bloque
Nº3: INFERENCIA ESTADISTICA MODERNA
3.1.-
WALD, Abraham [1.902-1.950]
Matemático
austriaco nacionalizado norteamericano. Fue discípulo de K.
Menger en la Universidad de Viena y trabajó con el economista
Oscar Morgenstern antes de exiliarse en E.U.A. (1.938). En este país
se dedicó a la estadística, a la que aportó un
rigor matemático que todavía no ha sido igualado. Fue
el fundador del análisis secuencial y de la teoría de
las funciones de decisión estadística.
3.2.-
VON NEUMANN, Janos John [1.903-1.957]
Creador
de la axiomática sobre la moderna teoría de la probabilidad
de la utilidad, se movió en el ámbito económico.
De procedencia húngara pasó a EEUU, colaborando con
Oscar Morgenstern.
3.3.-
SAVAGE, Leonard Jimmic [1.917-1.971]
Educado
en la Universidad de Michigan, se especializó en estadística
aplicada, empleando la función de utilidad y la teoría
de juegos. Trabajó en inferencia bayesiana, siendo el iniciador
del movimiento bayesiano.
3.4.-
ARROW, Kenneth Joseph [1.921- ]
Economista
y catedrático en Harvard desde 1.951. Experto en teoría
de la decisión, recibió el Premio Nóbel de Economía
en 1.972 por su contribución al desarrollo económico.
Creador de la teoría del bienestar (utilidad colectiva).
NOTA
FINAL: La relación de estos protagonistas no es completa
y tan solo trata de aportar algunos aspectos biográficos
de los autores que pueden ser considerados como más representativos.
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Anónimo